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In einem Verästelungsnetz kann der Durchfluss der einzelnen Rohrleitung einfach auf Basis der Knotenentnahmen berechnet werden. Dazu müssen an den einzelnen Knoten die Entnahmemengen bekannt sein. Im vorliegenden Beispiel handelt es sich bei Knoten a um die Einspeisestelle (z. B. Übergabe aus Transportleitung oder Behälter). Die Knoten c,d, e und f sind Verbrauchsknoten (z. B. Hausanschlüsse). An den Knoten ist in blauer Farbe der Bedarf (Entnahmemenge in m3/h) angegeben. Die negativen Vorzeichen geben an, dass es sich um Entnahmen (externe Abflüsse am Knoten) handelt. Externe Zuflüsse (Einspeisungen) haben positives Vorzeichen.  

             

Berechnung der Durchflussmengen

Die Durchflussmengen können nun unter Beachtung des 1. Kirchhoff'schen Gesetzes sehr einfach durch Aufsummieren der Entnahmemengen der Knoten und der ausgehenden Flüsse ermittelt werden. Das Gesetz wird auch als Knotenbedingung oder Mengengleichgewicht bezeichnet und bedeutet nichts anderes, als dass die Summe der Zuflüsse am Knoten gleich der Summe der Abflüsse sein muss. Dabei ist es unbedeutend, ob es sich bei den Zu- und Abflüssen um Rohrleitungsflüssen oder externe Flüsse (Entnahmen, Einspeisungen) handelt. Zu Bildung der Bilanz muss wie Pfeilrichtung betrachtet werden. Diese lautet zum Beispiel für Knoten b (abgehende Ströme haben negatives Vorzeichen): -q4 + q3 + q1 = 0. Zu beachten ist, dass die Pfeilrichtung nicht die Fließrichtung angeben muss.  

Für das Beispiel wird dazu an den Endknoten (Knoten, an die nur eine Leitung anschließt) begonnen. Die Zwischenknoten können dann berechnet werden, wenn nur noch ein Durchfluss unbekannt ist. Im vorliegenden Beispiel wird also mit den Knoten c, d und f begonnen. Daraus lassen sich direkt die Durchflüsse in den Leitungen 3, 4 und 5 berechnen (Rohr 3 -> - 7 m3/h, Rohr 4 -> 5 m3/h, Rohr 5 -> 6 m3/h). Im zweiten Schritt folgen dann die Knoten b und e. Unbekannt sind jeweils nur ein Rohr, so dass sich auch die Flüsse in den Rohren 1 und 2 ermitteln lassen (Rohr 1 -> - (-7) + 5 = 12 m3/h und Rohr 2 -> 6 + 8 m3/h). Die Ergebnisse sind in der folgenden Abbildung grün dargestellt:

 

Im Gegensatz zu den übrigen Knoten handelt es sich bei dem externen Zu-/Abfluss von Knoten a nicht um einen vorgegebenen Wert sondern um eine Ergebnisgröße (26 m3/h). Das positive Vorzeichen erklärt sich aus dem externen Zufluss (Einspeisung). Generell wird bei der Rohrnetzberechnung zwischen Q-Knoten und P-Knoten unterschieden. Bei Q-Knoten ist der externe Zu-/Abfluss bekannt und der Druck wird berechnet. Bei P-Knoten verhält es sich umgekehrt. Dort ist der Druck bekannt und die Zu-/Abflussmenge eine Ergebnisgröße. Ein (Teil-)System muss immer über mindestens einen P-Knoten verfügen, da ansonsten der Druck im Gesamten Leitungsnetz undefiniert ist.

Beachten Sie auch das negative Vorzeichen beim berechneten Durchfluss von Rohr 3 (Fließrichtung entgegen der positiven Kanten-Pfeilrichtung). Das Mengengleichgewicht zur Berechnung des Durchflusses in Rohr 1 lautet damit (siehe oben):  -q4 + q3 + q1 = 0 oder q1 = q4 - q3 = 5 - (-7) = 12.

Berechnung der Druckverluste in den Rohren

Wie gezeigt wurde, können in einem Verästelungsnetz die Durchflüsse in allen Rohren sehr einfach und alleine aus dem Mengengleichgewicht (Knotenbedingung) berechnet werden. Sind nun auch die Rohreigenschaften Durchmesser, Rauheit, Länge und die Temperatur des Wassers bekannt, kann nun für jedes Rohr, wie es im Kapitel zur Druckverlustberechnung einzelner Rohre beschrieben wurde, der Druckverlust berechnet werden.  In der folgenden Tabelle sind die EIngabegrößen sowie die Berechnungsergebnisse (in grün) dargestellt.

 

 

Berechnung der Knotendrücke

Da nun sämtliche Druckverluste bekannt sind kann ausgehend vom P-Knoten (Wurzelknoten bei Baumstruktur) der Druck an sämtlichen Knoten berechnet werden. Die Vorgehensweise ist ähnlich der Berechnung der Durchflüsse, erfolgt jedoch in umgekehrter Reihenfolge:

- Druchfluss: Von den Endknoten (Blättern) zur Quelle (Wurzel)

- Druck: Von der Quelle (Wurzel) zu den Endknoten (Blättern)

Für alle Rohre gilt:

Hi - Hk = h

Dabei bezeichnen Hi und Hk die Druckhöhe am Anfangs- (i) und Endknoten (k) und h den Druckverlust. Auch hier ist wieder das Vorzeichen für die positive Rohr-Pfeilrichtung zu beachten.

 

Im obigen Beispiel soll angenommen werden, dass der Eingangsdruck an der Wurzel 30 mWs beträgt. Mit den Druckverlusten aus der Tabelle folgt für die Knotendruckhöhen:

Hb = Ha - h1 = 30.000 - 2.144 = 27.856

He = Ha - h2 = 30.000 - 0.920 = 29.080

Hc = Hb + h3 = 27.856 + (- 1.709) = 26.147

Hd = Hb - h4 = 27.856 - 6.322 = 21.534

Hf = He - h5 = 29.080 - 1.867 = 27.213

Beachten Sie auch hier wieder das negative Vorzeichen bei Rohr 3.

Bei der Berechnung der Druckhöhen wurde bis hierher stillschweigend vorausgesetzt,dass alle Knoten und Rohre auf dem gleichen geodätischen Höhenniveau liegen (z = 0). Das ist in realen System natürlich nur in den seltensten Fällen so. Die tatsächlich zur Verfügung stehende Druckhöhe ergibt sich aus der Potenzialhöhe vermindert um die Höhenlage gegenüber der Grundhöhe. In der Regel wird die geodätische Höhe verwendet. Soll außerdem an Stelle der Druckhöhe (in m) der Druck in bar angegeben werden, muss die Druckhöhe mit der Wichte des Wassers multipliziert werden. Allgemein gilt für die Druckverhältnisse zwischen zwei Punkten einer Rohrleitung (Bernoulli):

Bei konstantem Durchmessern  ist die Geschwindigkeitshöhe  auf beiden Seiten gleich und kann entfallen. Auch sonst wird die Geschwindigkeitshöhe bei der Berechnung von Rohrleitungsnetzen der Trinkwasserversorgung auf Grund ihres geringen Anteils normalerweise vernachlässigt (Beispiel: Fließgeschwindigkeit 0.5 m/s: 0,0127 m). Die bisher verwendet Druckhöhe H wurde in obiger Gleichung ersetzt durch . Zur Berechnung des tatsächlich wirksamen Drucks (oder der Druckhöhe muss also noch die geodätische Höhe z abgezogen werden. Die folgende Tabelle zeigt Eingabedaten und Berechnungsergebnisse für das leicht modifizierte (unterschiedliche Knotenhöhen -> z-Werte) Beispiel von oben (Ergebnisgrößen sind wieder grün markiert). Die Wichte des Wassers ist das Produkt aus Dichte mal Erdbeschleunigung und beträgt für Wasser mit einer Temperatur von 10°C:

Mit der Umrechnung ergeben sich die Werte der letzten Spalte (1 bar entspricht 10.191 m)